Damien Jamet

(LORIA, Nancy)

Le mot d’Oldenburger-Kolakoski (ou simplement le mot d’Oldenburger) \(O = 22112122122112... \) étudié par R. Oldenburger (1939), puis redécouvert par W. Kolakoski (1965), est l’unique mot à la fois point fixe de l’opérateur \(\Delta\) de codage par plage et commençant par la lettre 2 :

Il n’est pas périodique (Oldenburger, 1939), sa complexité en facteurs est bornée polynomialement (Weakley, 1989), il ne contient qu’un ensemble fini de carrés, aucun cube (Carpi, 1993 et 1994) et n’est point fixe d’aucune substitution (Carpi, 1993 et Lepistö 1993)...
Néanmoins, de nombreuses conjectures et questions subsistent sur ce mot. L’une des plus fasci- nantes est certainement la question posée par M. S. Keane en 1991 : Dans cet exposé, nous montrons que certaines questions ouvertes sur le mot d’Oldenburger pos- sèdent des réponses, parfois même complètes, lorsque nous relâchons légèrement la définition du mot d’Oldenburger.
Dans la première partie de notre exposé, nous présenterons nos résultats sur la question de Keane appliquée aux mots lisses, i.e. les mots infinis dont toutes les images par les itérés de l’opérateur ∆ possèdent le même alphabet.
Dans la seconde partie de l’exposé, nous introduirons un nouvel ensemble de suites, i.e. les suites autodescriptives, construites selon le même procédé que le mot d’Oldenburger mais en s’affranchissant de la condition d’alternance stricte entre chaque lettre de l’alphabet. Nous montrerons alors comment, sous certaines conditions, déterminer la limite des densités de chaque lettre dans le préfixe d’une suite autodescriptive.

Les résultats présentés dans cet exposé sont le fruit de collabrations avec S. Akiyama (Tuskuba), S. Brlek (UQAM, Montréal), G. Paquin (UQAM, Montréal), I. Marcovici (Université de Rouen), C. Boisson (ENS Lyon) et M.-L. Trân-Công (ENS Lyon).