Jeudi 03 octobre 2024, 14:00 à 15:00

Salle de séminaire du département informatique

Antoine Renard

(Université de Liege)

En mathématiques, une q-déformation ou q-analogue d'un concept (un théorème, une fonction, une égalité, ...) est une généralisation de ce dernier faisant intervenir un nouveau paramètre q, et telle que l'on retrouve l'objet original en laissant q tendre vers 1. Plus précisément, dans le cas d'une fonction de comptage f, un q-analogue de cette fonction correspond à un polynôme en la variable q et à coefficients naturels qui, évalué en q=1, donne la valeur de la fonction originale f.

D'un autre côté, les coefficients binomiaux de mots sont largement étudiés en combinatoire des mots. Étant donnés deux mots finis u, v construits à partir d'un alphabet A (fini lui aussi), le coefficient \(\binom{u}{v}\) compte le nombre d'occurrences de v comme sous-suite de u (on dit également que v est un sous-mot "éclaté" de u).

Dans cet exposé, nous allons introduire une q-déformation des coefficients binomiaux de mots. Après avoir passé en revue les quelques premières propriétés de cet analogue, ainsi que son interprétation combinatoire, nous nous attarderons plus longuement sur deux applications de ces coefficients q-déformés. Dans un premier temps, nous généraliserons un théorème d'Eilenberg caractérisant les langages p-groupes. Ensuite, nous introduirons une q-déformation des matrices de Parikh, elles aussi largement étudiées, en mettant en lumière les différents résultats qui découlent de cette nouvelle notion.